Question

15．若将函数y=3sin（6x+$\frac{π}{6}$）的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度，得到函数y=f（x）的图象，若y=f（x）+a在x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [-3，$\frac{3}{2}$]
• B． [-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$]
• C． [$\frac{3}{2}$，3]
• D． （-3，-$\frac{3}{2}$]

Answer 1

分析 利用函数图象变换规律得出f（x）=3sin（2x-$\frac{π}{6}$）+a，转化为g（x）=3sin（2x-$\frac{π}{6}$），x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，y=-a，有2个交点问题求解．

解答 解：根据函数图象的变换得出：函数y=f（x）=3sin（2x-$\frac{π}{6}$）+a，
构造函数：g（x）=3sin（2x-$\frac{π}{6}$），x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，
y=-a，
∵y=f（x）+a在x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上有两个不同的零点，
∴g（x）=3sin（2x-$\frac{π}{6}$），x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，
y=-a，有2个交点，-$\frac{π}{2}$≤2x$-\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$
∴利用正弦函数图象性质得出：$-\frac{3}{2}$≤-a＜3，
即实数a的取值范围是：（-3，$-\frac{3}{2}$]
故选：D

点评 本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，数形结合解决问题，综合性较大．