Question

20．已知点（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{4}$）是等轴双曲线C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$=1上一点，抛物线x²=2py（p＞0）的焦点与双曲线C的一个焦点重合．
（1）求抛物线的方程；
（2）若点P是抛物线上的动点，点A，B在x轴上，圆x²+（y-1）²=1内切于△PAB，求△PAB面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出双曲线方程，可得焦点坐标，利用抛物线x²=2py（p＞0）的焦点与双曲线C的一个焦点重合，求出求抛物线的方程；
（2）设P（x₀，y₀），A（m，0），B（n，0），n＞m．由圆心（1，0）到直线PB的距离是1，知（y₀-2）n²+2nx₀-y₀=0，同理，（y₀-2）m²+2mx₀-y₀=0，所以（m-n）²=$\frac{4{{x}_{0}}^{2}+4{{y}_{0}}^{2}-8{y}_{0}}{（{y}_{0}-2）^{2}}$，从而得到S_△PBC=$\frac{1}{2}$（n-m）y₀，由此能求出△PBC面积的最小值．

解答 解：（1）∵点（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{4}$）是等轴双曲线C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$=1上一点，
∴$\frac{\frac{6}{16}}{{a}^{2}}$-$\frac{\frac{1}{4}}{{a}^{2}}$=1，∴a²=$\frac{1}{8}$，
∴c²=2a²=$\frac{1}{4}$，∴c=$\frac{1}{2}$，
∵抛物线x²=2py（p＞0）的焦点与双曲线C的一个焦点重合，
∴$\frac{p}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴p=1，
∴抛物线的方程为x²=2y；
（2）设P（x₀，y₀），A（m，0），B（n，0），n＞m．
直线PB的方程：y-0=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-n}$（x-n），
化简，得y₀x+（n-x₀）y-y₀n=0，
∵圆心（0，1）到直线PB的距离是1，
∴$\frac{|n-{x}_{0}-{y}_{0}n|}{\sqrt{{{y}_{0}}^{2}+（n-{x}_{0}）^{2}}}$=1，
∴y₀²+（n-x₀）²=（n-x₀））²-2y₀n（n-x₀））+y₀²n²，
∵y₀＞2，上式化简后，得（y₀-2）n²+2nx₀-y₀=0，
同理，（y₀-2）m²+2mx₀-y₀=0，
∴m+n=$\frac{-2{x}_{0}}{{y}_{0}-2}$，mn=$\frac{-{y}_{0}}{{y}_{0}-2}$，
∴（m-n）²=$\frac{4{{x}_{0}}^{2}+4{{y}_{0}}^{2}-8{y}_{0}}{（{y}_{0}-2）^{2}}$，
∵P（x₀，y₀）是抛物线上的一点，
∴x₀²=2y₀，
∴（m-n）²=$\frac{4{{y}_{0}}^{2}}{（{y}_{0}-2）^{2}}$，n-m=$\frac{2{y}_{0}}{{y}_{0}-2}$，
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}$（n-m）y₀=（y₀-2）+$\frac{4}{{y}_{0}-2}$+4≥2$\sqrt{4}$+4=8．
当且仅当y₀-2=$\frac{4}{{y}_{0}-2}$时，取等号．
此时y₀=4，x₀=±2$\sqrt{2}$．
∴△PBC面积的最小值为8．

点评 本题考查三角形面积的最小值的求法，具体涉及到抛物线的性质、抛物线和直线的位置关系、圆的简单性质、均值定理等基本知识，综合性强，难度大，对数学思想的要求较高，解题时要注意等价转化思想的合理运用．