Question

10．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点P（1，$\frac{3}{2}$），其离心率为$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的右顶点为A，直线l交C于两点M、N（异于点A），若D在MN上，且AD⊥MN，|AD|²=|MD||ND|，证明直线l过定点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和点P满足椭圆方程，以及a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）运用三角形的相似的判定和性质定理，可得∠MAN=90°，联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，设M（x₁，y₁）N（x₂，y₂），A（2，0），可得（3+4k²）x²+8km+4m²-12=0，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，得到，7m²+16km+4k²=0，7m=-2k，m=-2k，代入求解即可得出定点．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
又a²-b²=c²，
且$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{4{b}^{2}}$=1，
解得a=2，c=1，b=$\sqrt{3}$，
可得椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）证明：由AD⊥MN，|AD|²=|MD||ND|，
可得Rt△ADM∽Rt△DNA，
即有∠DNA=∠MAD，即∠MAN=90°，
由$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，M（x₁，y₁）N（x₂，y₂），A（2，0），
可得（3+4k²）x²+8km+4m²-12=0，
x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，
即4k²＞m²-3，
由AM⊥AN，可得$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$=-1，
即为（x₁-2）（x₂-2）+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，
即（k²+1）x₁x₂+（mk-2）（x₁+x₂）+m²+4=0，
即有（k²+1）•$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$+（mk-2）（-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$）+m²+4=0，
化简可得7m²+16km+4k²=0，
m=-$\frac{2}{7}$k或m=-2k，满足判别式大于0，
当m=-$\frac{2}{7}$k时，y=kx+m=k（x-$\frac{2}{7}$）（k≠0），
直线l过定点（$\frac{2}{7}$，0）；
当m=-2k时，y=kx-2k=k（x-2），直线l过定点（2，0）．
由右顶点为A（2，0），则直线l过定点（2，0）不符合题意，
当直线的斜率不存在时，也成立．
根据以上可得：直线l过定点，且为（$\frac{2}{7}$，0）．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，联立方程组，结合韦达定理整体求解，属于中档题．