Question

12．双流中学食堂旁边有一块矩形空地，学校想要在这块空地上修建一个内接四边形EFGH花坛（如图所示），该花坛的四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB=a（a＞10），BC=10，且 AE=AH=CG=CF，设AE=x，花坛EFGH的面积记为S（x）．
（1）求S（x）的解析式，并指出这个函数的定义域；
（2）当x为何值时，花坛面积S（x）最大？并求出最大面积．

Answer 1

分析 （1）先求得四边形ABCD，△AHE，△BEF的面积，再分割法求得四边形EFGH的面积，即建立y关于x的函数关系式；
（2）由（1）知y是关于x的二次函数，用二次函数求最值的方法求解．

解答 解：（1）S_△AEH=S_△CFG=$\frac{1}{2}$x²，S_△BEF=S_△DGH=$\frac{1}{2}$（a-x）（10-x）．（2分）
S（x）=S_ABCD-2S_△AEH-2S_△BEF=2a-x²-$\frac{1}{2}$（a-x）（10-x）=-2x²+（a+10）x
由$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{a-x＞0}\\{10-x≥0}\\{a＞10}\end{array}\right.$，得0＜x≤10
∴S（x）=-2x²+（a+10）x，x∈（0，10]…（6分）
（2）由（1）知f（x）=-2x²+（a+10）x=$-2{（{x-\frac{a+10}{4}}）^2}+\frac{{{{（{a+10}）}^2}}}{8}$
因为a＞10，若$\frac{a+10}{4}$≤10，即10＜a≤30，S（x）_max=S（$\frac{a+10}{4}$）=$（\frac{a+10}{8}）^{2}$
$\begin{array}{l}若\frac{a+10}{4}＞10，即a＞30，有S（x）在上是增函数，此时\\ S{（x）_{max}}=S（{10}）=-{（{10-\frac{a+10}{4}}）^2}+\frac{{{{（{a+10}）}^2}}}{8}=10a-100…（11分）\end{array}$
综上所述，10＜a≤30时，S（x）_max=S（$\frac{a+10}{4}$）=$（\frac{a+10}{8}）^{2}$；
当a＞30，x=10时，S（x）_max=S（10）=10a-100…（12分）

点评 本题主要考查实际问题中的建模和解模能力，考查分类讨论的数学思想，注意二次函数求最值的方法．