Question

11．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知3（b²+c²）=3a²+2bc．
（1）求sinA的值；
（2）若a=2，△ABC的面积S=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且b＞c，求b和c的值．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理即可得出．
（2）利用三角形面积计算公式、余弦定理即可得出．

解答 解：（1）由3（b²+c²）=3a²+2bc．
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\frac{2}{3}bc}{2bc}$=$\frac{1}{3}$，
∵A∈（0，π），
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
（2）∵$S=\frac{{\sqrt{2}}}{2}⇒\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
又$sinA=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}⇒bc=\frac{3}{2}$ ①
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA⇒b²+c²=5，
②∵b＞c，联立①②可得$b=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}，c=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题考查了三角形面积计算公式、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．