Question

13．已知椭圆G：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的两焦点分别为F₁，F₂，其离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，椭圆G上一点M满足$\overrightarrow{{MF}_{1}}•\overrightarrow{{MF}_{2}}$=0．且△MF₁F₂的面积为1．
（I）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）过椭圆G长轴上的点P（t，0）的直线l与圆O：x²+y²=1相切于点Q（P与Q不重合），交椭圆G于A，B两点，若|AQ|=|BP|，求实数t的值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆G：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，知a²=4b²，由$\overrightarrow{{MF}_{1}}•\overrightarrow{{MF}_{2}}$=0，知MF₁⊥MF₂，且△MF₁F₂的面积为1，知|MF₁||MF₂|=2．由此能导出椭圆G的方程；
（2）由题意设出l：y=k（x-t），得到OQ所在直线方程，求出Q的坐标，由直线和圆相切得到${k}^{2}=\frac{1}{{t}^{2}-1}$，再联立直线方程和椭圆方程，由|AQ|=|BP|可得AB中点与PQ中点重合，由此列式求得k值，代入${k}^{2}=\frac{1}{{t}^{2}-1}$求得t值．

解答 解：（Ⅰ））∵$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$，即a²=4b²，①
∵$\overrightarrow{{MF}_{1}}•\overrightarrow{{MF}_{2}}$=0，∴MF₁⊥MF₂，且△MF₁F₂的面积为1，
则${S}_{△M{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|MF₁||MF₂|=1，即|MF₁||MF₂|=2．
∵|MF₁|+|MF₂|=2a，
∴|MF₁|²+2|MF₁||MF₂|+|MF₂|²=4a²．
∴|F₁F₂|²+4=4a²．
∴4（a²-b²）+4=4a²，∴b²=1．②
将②代入①，得a²=4．
∴椭圆G的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）如图，由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设为k，
则l：y=k（x-t），
则OQ所在直线方程为y=-$\frac{1}{k}x$，
由O到直线l的距离d=$\frac{|-kt|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$，得${k}^{2}=\frac{1}{{t}^{2}-1}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-t）}\\{y=-\frac{1}{k}x}\end{array}\right.$，解得：Q（$\frac{{k}^{2}t}{1+{k}^{2}}，-\frac{kt}{1+{k}^{2}}$），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-t）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²-8k²tx+4k²t²-4=0，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}t}{1+4{k}^{2}}$，
由题意可知，AB中点与PQ中点重合，
则$\frac{4{k}^{2}t}{1+4{k}^{2}}=\frac{\frac{{k}^{2}t}{1+{k}^{2}}+t}{2}$，即${k}^{2}=\frac{1}{2}$．
代入${k}^{2}=\frac{1}{{t}^{2}-1}$，得t=$±\sqrt{3}$．
∴实数t的值为$±\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查椭圆方程求法，考查直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查化归与转化、数形结合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．