Question

7．（1+x+x²）²=1+2x+3x²+2x³+x⁴
（1+x+x²）³=1+3x+6x²+7x³+6x⁴+3x⁵+x⁶
（1+x+x²）⁴=1+4x+10x²+16x³+19x⁴+16x⁵+10x⁶+4x⁷+x⁸
  …
观察上述等式，由以上等式推测：对于n∈N﹡，若（1+x+x²）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2nx²ⁿ，则 a_2n-2=$\frac{n（n+1）}{2}$．

Answer 1

分析 观察上述等式，得出等式右边展开式中各项系数具有对称性，且第三项分别为：1，3，6，10，…，求出a₂即得a_2n-2的值．

解答 解：1+x+x²=1+x+x²
（1+x+x²）²=1+2x+3x²+2x³+x⁴
（1+x+x²）³=1+3x+6x²+7x³+6x⁴+3x⁵+x⁶
（1+x+x²）⁴=1+4x+10x²+16x³+19x⁴+16x⁵+10x⁶+4x⁷+x⁸
  观察上述等式，知：
等式右边展开式中的第三项分别为：1，3，6，10，…，
即：1，1+2.1+2+3，1+2+3+4，…
根据已知可以推断：
第n（n∈N^*）个等式中a₂为：
1+2+3+4+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$；
所以a_2n-2=a₂=$\frac{n（n+1）}{2}$．
故答案为：$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查了归纳推理的应用问题，其步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．