Question

17．函数f（x）=$\frac{\sqrt{2}sin（x-\frac{π}{4}）+2}{2si{n}^{2}\frac{x}{2}+1}$的最大值为M，最小值为m，则M+m等于（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 运用两角差的正弦公式和二倍角的余弦公式，化简f（x）=1+$\frac{sinx}{2-cosx}$，设g（x）=$\frac{sinx}{2-cosx}$，定义域为R，判断g（x）为奇函数，运用奇函数的性质：最值之和为0，即可得到所求和．

解答 解：函数f（x）=$\frac{\sqrt{2}sin（x-\frac{π}{4}）+2}{2si{n}^{2}\frac{x}{2}+1}$
=$\frac{\sqrt{2}（sinxcos\frac{π}{4}-cosxsin\frac{π}{4}）+2}{1-cosx+1}$
=$\frac{sinx-cosx+2}{2-cosx}$=1+$\frac{sinx}{2-cosx}$，
设g（x）=$\frac{sinx}{2-cosx}$，定义域为R，
g（-x）=$\frac{sin（-x）}{2-cos（-x）}$=-$\frac{sinx}{2-cosx}$=-g（x），
可得g（x）为奇函数．
设g（x）的最大值为A，则最小值为-A，
则f（x）的最大值M=A+1，最小值m=-A+1，
可得M+m=2．
故选：B．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用三角函数的恒等变换，考查函数的奇偶性的判断和运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．