Question

6．已知函数f（x）=Asin（$ωx+ϕ），（ω＞0，A＞0，ϕ∈（0，\frac{π}{2}））$部分图象如图所示．
（I）求函数f（x）的解析式； 
（II）已知$a∈（0，\frac{π}{2}）$，且cosa=$\frac{2}{3}$，求f（a）．

Answer 1

分析 （I）根据图象求出A，ω 和φ，即可求函数f（x）的解析式；
（II）$a∈（0，\frac{π}{2}）$，且cosa=$\frac{2}{3}$，求出sina，根据函数解析式之间的关系即可得到结论．

解答 解：：（I）由题设图象知，最大值为2，∴A=2，
周期T=4（$\frac{π}{12}+\frac{π}{6}$）=π
∴ω=$\frac{2π}{T}$=2．
∵点（$\frac{π}{12}$，2）在函数图象上．可得2=2sin（2×$\frac{π}{12}$+φ）．
即$\frac{π}{6}+$φ=$\frac{π}{2}+2kπ$，（k∈Z）
φ∈（0，$\frac{π}{2}$）
∴φ=$\frac{π}{3}$．
故得函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（II）∵$a∈（0，\frac{π}{2}）$，且cosa=$\frac{2}{3}$，
∴sina=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
可得sin2a=2×$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{5}}{3}$=$\frac{4\sqrt{5}}{9}$，
cos2a=1-2sin²a=$-\frac{1}{9}$
那么f（a）=2sin（2a+$\frac{π}{3}$）．=2（sin2acos$\frac{π}{3}$+cos2asin$\frac{π}{3}$）=$\frac{4\sqrt{5}-\sqrt{3}}{9}$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系．