Question

3．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x-1，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（B）=1．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=3，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （I）利用倍角公式、和差公式可得：f（x）=$2sin（2x+\frac{π}{6}）$，由于f（B）=1，可得$2sin（2B+\frac{π}{6}）$=1，B∈（0，π），即可得出．
（II）由$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=3，可得ac=6．再利用余弦定理与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（I）f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x-1=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=$2sin（2x+\frac{π}{6}）$，
∵f（B）=1，∴$2sin（2B+\frac{π}{6}）$=1，即sin（2B+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π），∴$B=\frac{π}{3}$．
（II）∵$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=3，∴cacos$\frac{π}{3}$=3，解得ac=6．
∴b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-6≥2ac-6=6，
解得b$≥\sqrt{6}$．
∴b的取值范围是$[\sqrt{6}，+∞）$．

点评 本题考查了倍角公式、和差公式、余弦定理与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．