Question

【题目】如图所示，已知焦点为的抛物线上有一动点，过点作抛物线的切线交轴于点.

（1）判断线段的中垂线是否过定点，若是求出定点坐标，若不是说明理由；

（2）过点作的垂线交抛物线于另一点，求面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）存在，过定点；（2）.

【解析】

（1）设直线的方程为与抛物线方程联立方程组，消元后由判别式为0得，这样可用表示出点坐标，从而也可得点坐标，然后求出中垂线方程后可得定点；

（2）在（1）基础上，求出方程，与抛物线方程联立求得点坐标后，计算出，，从而得面积为的函数，其中，利用导数可求得其最小值．

（1）设直线的方程为和抛物线方程联立得：，

由，得，则的解为，由得，，得，在中令得，所以，

中点为，所以线段的中垂线方程为，

所以线段的中垂线过定点.

（2）直线的方程为和抛物线方程联立得：

，，

，.

所以的面积为，，

时，，单调递减，时，，单调递增，

所以时，.