Question

【题目】已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线：交椭圆于不同的两点、.

（1）求椭圆的方程；

（2）若，且，求的值（点为坐标原点）；

（3）若坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）由题意结合椭圆的性质可得，利用求得后即可得解；

（2）由题意直线：，设点，，联立方程可得，，代入后，化简即可得，即可得解；

（3）由题意结合点到直线的距离公式可得，联立方程组可得，，进而可得，分、讨论，利用基本不等式即可得解.

（1）设椭圆的半焦距为，

则，解得，所以，

所以椭圆方程为；

（2）当时，直线：，设点，，

则，化简可得，

，

所以，，

所以

，

所以即；

（3）由坐标原点到直线的距离为，可得，

所以，

则，化简可得，

，

所以，，

所以

，

当时，；

当时，，

因为，当且仅当时，等号成立，

所以，此时；

综上，，

所以面积的最大值.