Question

（本小题满分12分） 已知直线L：y=x+1与曲线C：交于不同的两点A,B;O为坐标原点。
（1）若，试探究在曲线C上仅存在几个点到直线L的距离恰为？并说明理由；
（2）若，且a>b,,试求曲线C的离心率e的取值范围。

Answer 1

（1）在曲线C上存在3个点到直线L的距离恰为（2）

解析试题分析：(1)在曲线C上存在3个点到直线L的距离恰为。
设，由得，
                                           2分
又点A,B在直线L上，得，，代入上式化简得
                                          4分
由
由               6分
所以，于是，这时曲线C表示圆
，O到直线L的距离d=,即有3个点         8分
（2）因为a>b,所以曲线C为焦点在x轴上的椭圆
由，所以，
又，，              9分
由（1）得，，代入上式整理得
，
      可得     
而 
       12分
考点：直线与椭圆相交，直线与圆相交的弦长距离问题及椭圆离心率范围的求解
点评：第一问由直线与圆锥曲线相交首先利用韦达定理确定了曲线的特点（为圆）进而转化为求圆上的点到直线的距离，第二问求离心率范围，将离心率求解函数式用已知中的变量a表示，转换为求函数值域