Question

已知x，y均为正数，θ∈（0，

π

4

），且满足

sinθ

x

=

cosθ

y

，

cos2θ

x2

+

sin2θ

y2

=

17

4(x2+y2)

，则

x

y

的值为

 

．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：已知第二个等式两边乘以x²+y²，得到关系式记作（*），将第一个等式变形代入（*），整理后求出sinθ与cosθ的值，即可求出所求式子的值．

解答： 解：∵

cos2θ

x2

+

sin2θ

y2

=

17

4(x2+y2)

，
∴（x²+y²）（

cos2θ

x2

+

sin2θ

y2

）=cos²θ+sin²θ+

x2sin2θ

y2

+

y2cos2θ

x2

=1+

x2sin2θ

y2

+

y2cos2θ

x2

=

17

4

，即

x2sin2θ

y2

+

y2cos2θ

x2

=

13

4

（*），
∵

sinθ

x

=

cosθ

y

，
∴

x

y

=

sinθ

cosθ

，

y

x

=

cosθ

sinθ

，
代入（*）得，

sin4θ

cos2θ

+

cos4θ

sin2θ

=

sin6θ+cos6θ

sin2θcos2θ

=

13

4

，
∵cos⁶θ+sin⁶θ=（cos²θ+sin²θ）（cos⁴θ+sin⁴θ-sin²θcos²θ）=1×[（cos²θ+sin²θ）²-3sin²θcos²θ]=1-3sin²θcos²θ，
∴

1-3sin2θcos2θ

sin2θcos2θ

=

13

4

，
化为sin²θcos²θ=

4

25

，与sin²θ+cos²θ=1联立，
解得：sin²θ=

1

5

，cos²θ=

4

5

，
∵θ∈（0，

π

4

），
∴sinθ=

5

5

，cosθ=

2 5

5

，
则

x

y

=

sinθ

cosθ

=

1

2

．
故答案为：

1

2

点评：此题考查了的同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．