Question

已知函数f（x）=a^x（0＜a＜1），数列{a_n}满足a₁=f（1），a_n+1=f（a_n），n∈N^*．则a₂与a₃中，较大的是

 

；a₂₀，a₂₅，a₃₀的大小关系是

 

．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：利用指数函数的单调性，可以得出a_n+1=f（a_n）从第一项开始，函数值先增大后减小再增大，再减小，最后趋于平稳值，奇数项的值慢慢变大趋于平稳值，偶数项的值慢慢变小趋于平稳值，所以偶数项总是大于奇数项的值，即可得出结论．

解答： 解：∵f（x）=a^x（0＜a＜1），a₁=f（1），
∴a₁=a，
∵a_n+1=f（a_n），
∴a₂=f（a₁）=aa1=a^a，
∵0＜a＜1，
∴a₂＞a₁，
∵a₃=aa2，
∴a₂＞a₃，
同理可得a₁＜a₃＜…，a₂＞a₄＞…，
∴a_n+1=f（a_n）从第一项开始，函数值先增大后减小再增大，再减小，最后趋于平稳值，奇数项的值慢慢变大趋于平稳值，偶数项的值慢慢变小趋于平稳值，所以偶数项总是大于奇数项的值，
∴a₂₅＜a₃₀＜a₂₀．
故答案为：a₂；a₂₅＜a₃₀＜a₂₀．

点评：本题考查指数函数的单调性，考查数列与函数的综合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．