Question

己知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，M是BC的中点且AM=2

3

，asinA-bsinB=（a-c）sinC，则BC+AB的最大值是

 

．

Answer 1

考点：三角函数的最值,两角和与差的正弦函数,正弦定理,余弦定理的应用

专题：解三角形

分析：通过余弦定理求出B，利用正弦定理求出BC+AB的表达式，然后求解最值即可．

解答： 解：由asinA-bsinB=（a-c）sinC，可得a²-b²=ac-c²，∴cosB=

1

2

，∴B=60°，
a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，M是BC的中点且AM=2

3

，
在△ABM中，设∠BAM=α，
由正弦定理可得：

AM

sin60°

=

BC

2sinα

，BC=

2×2 3 sinα

3 2

=8sinα．
AB=

AMsin(120°-α)

sin60°

=4sin（120°-α）
∴BC+AB=8sinα+4sin（120°-α）
=8sinα+2

3

cosα+2sinα
=10sinα+2

3

cosα
=4

7

sin（α+θ）．其中tanθ=

3

5

．
α∈（0°，120°），
当sin（α+θ）=1时，BC+AB的最大值为4

7

．
故答案为：4

7

．

点评：本题考查三角形的解法，余弦定理以及正弦定理的应用，三角函数的最值的求法，考查计算能力．