Question

3．已知P是△ABC内一点，$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$+2$\overrightarrow{PA}$=0，现将一粒黄豆随机投入△ABC内，则该粒黄豆落在△PAC内的概率是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 本题符合几何概型的意义，只要画出满足条件的图形，数形结合找出满足条件的△APC的面积大小与△ABC面积的大小之间的关系，再根据几何概型的计算公式进行求解．

解答 解：如图示，取BC的中点为D，连接PA，PB，PC，
则2$\overrightarrow{PD}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$，又P点满足$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$+2$\overrightarrow{PA}$=0，
故有$\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{0}$，可得三点A，P，D共线且$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$，
即P点为A，D的中点时满足$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$+2$\overrightarrow{PA}$=0，
此时S_△APC=$\frac{1}{4}$S_△ABC，
故黄豆落在△APC内的概率为$\frac{1}{4}$，
故选：C．

点评 本题考查了几何概型的概率求法；关键是选择公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据公式解答．