Question

10．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意n∈N^*，S_n=（-1）ⁿa_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$+2n-6，且（a_n+1-p）（a_n-p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是（　　）

• A． （-$\frac{7}{4}$，$\frac{23}{4}$）
• B． （-∞，$\frac{23}{4}$）
• C． （-$\frac{7}{4}$，6）
• D． （-2，$\frac{23}{4}$）

Answer 1

分析 通过S_n=（-1）ⁿa_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$+2n-6与S_n-1=（-1）^n-1a_n-1+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+2n-8（n≥2）作差，进而整理可得数列{a_n}的通项公式，分n为奇偶两种情况解不等式即得结论．

解答 解：∵S_n=（-1）ⁿa_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$+2n-6，
∴当n≥2时，S_n-1=（-1）^n-1a_n-1+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+2n-8，
两式相减得：a_n=（-1）ⁿa_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$+2n-6-[（-1）^n-1a_n-1+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+2n-8]，
整理得：[1-（-1）ⁿ]a_n=（-1）ⁿa_n-1+2-$\frac{1}{{2}^{n}}$（n≥2），（*）
又∵S_n=（-1）ⁿa_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$+2n-6，
∴S₁=（-1）a₁+$\frac{1}{2}$+2-6，即a₁=-$\frac{7}{4}$，
下面对n的奇偶性进行讨论：
（1）当n为偶数时，化简（*）可知：a_n-1=$\frac{1}{{2}^{n}}$-2，
∴a_n=$\frac{1}{{2}^{n+1}}$-2（n为奇数）；
（2）当n为奇数时，化简（*）可知：2a_n=-a_n-1+2-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
即$\frac{1}{{2}^{n}}$-4=-a_n-1+2-$\frac{1}{{2}^{n}}$，即a_n-1=6-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴a_n=6-$\frac{1}{{2}^{n}}$（n为偶数）；
于是a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{2}^{n+1}}-2，}&{n为奇数}\\{-\frac{1}{{2}^{n}}+6，}&{n为偶数}\end{array}\right.$．
∵对任意n∈N^*（a_n+1-p）（a_n-p）＜0恒成立，
∴对任意n∈N^*（p-a_n+1）（p-a_n）＜0恒成立．
又∵数列{a_2k-1}单调递减，数列{a_2k}单调递增，
∴当n为奇数时，有：a_n＜p＜a_n+1，
则a₁＜p＜a₁₊₁，即-$\frac{7}{4}$＜p＜$\frac{23}{4}$；
当n为偶数时，有：a_n+1＜p＜a_n，
则a₂₊₁＜p＜a₂，即-$\frac{15}{8}$＜p＜$\frac{23}{4}$；
综上所述，-$\frac{7}{4}$＜p＜$\frac{23}{4}$，
故选：A．

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查分类讨论的思想，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．