Question

1．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=$\frac{1}{2}$，a_na_n+1＞0（n∈N^*），S₃+a₃，S₅+a₅，S₄+a₄成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（1）设b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过S₃+a₃，S₅+a₅，S₄+a₄成等差数列可知S₅+a₅-（S₃+a₃）=S₄+a₄-（S₅+a₅），整理可知4a₅=a₃，通过设等比数列{a_n}的公比为q，利用q²=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{3}}$及a_na_n+1＞0可知q=$\frac{1}{2}$，进而计算可得结论；
（2）通过（1）可知b_n=n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，进而利用错位相减法计算计算即得结论．

解答 解：（1）因为S₃+a₃，S₅+a₅，S₄+a₄成等差数列，
所以S₅+a₅-（S₃+a₃）=S₄+a₄-（S₅+a₅），
化简得4a₅=a₃，
设等比数列{a_n}的公比为q，则q²=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{3}}$=$\frac{1}{4}$，
因为a_na_n+1=${{a}_{1}}^{2}$•q^2n-1＞0，
所以q＞0，从而q=$\frac{1}{2}$，
故数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$；
（2）由（1）可知b_n=na_n=n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
所以T_n=1•$\frac{1}{2}$+2•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，①
则$\frac{1}{2}$T_n=1•$\frac{1}{{2}^{2}}$+2•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$+n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，②
①-②，得$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
即T_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．