Question

12．已知A_n⁴=24C_n⁶，且（1-2x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ．
（1）求n的值；
（2）求a₁+a₂+a₃+…+a_n的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用排列数、组合数的计算公式，求得n的值．
（2）在所给的二项式中，令x=0求得a₀=1，再令x=1，可得 a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_n的值，从而求得x=1，可得a₁+a₂+a₃+…+a_n的值．

解答 解：（1）由A_n⁴=24C_n⁶，可得$\frac{n!}{（n-4）!}$=24•$\frac{n!}{（n-6）!•6!}$，（n-4）（n-5）=5×6，
求得n=10或n=-1（舍去），故n=10．
（2）在（1-2x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ中，
令x=0，可得a₀=1；
再令x=1，可得 a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_n=a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₁₀=1，
∴a₁+a₂+a₃+…+a_n的=a₁+a₂+a₃+…+a₁₀=0．

点评 本题主要考查排列数、组合数的计算公式，二项式定理的应用，属于给变量赋值问题，属于基础题．