Question

2．已知O为坐标原点，A，B为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个顶点，点P是双曲线上异于A，B的一点，连接PO交椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1于点Q，设直线PA，PB，QA，QB的斜率分别为k₁，k₂，k₃，k₄，则k₁+k₂+k₃+k₄的值为（　　）

• A． 0
• B． -1
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 由题意求出A、B的坐标，设P（x₀，y₀），代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$化简后，由斜率公式表示出k_PA+k_PB并化简，同理设Q（x₁，y₁）并求出k_QA+k_QB，根据k_OP=k_OQ可得k₁+k₂+k₃+k₄的值．

解答 解：由题意可得，A（-a，0），B（a，0），如图
设P（x₀，y₀），代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$得，$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
则${{y}_{0}}^{2}=\frac{{b}^{2}（{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}）}{{a}^{2}}$，则${{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}$=$\frac{{a}^{2}{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}$，
∴k_PA+k_PB=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$+$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$=$\frac{{2{x}_{0}y}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}$
=$\frac{{2{x}_{0}y}_{0}}{\frac{{a}^{2}{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}}$=$\frac{{2b}^{2}{x}_{0}}{{a}^{2}{y}_{0}}$，
设Q（x₁，y₁），代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$得，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
则${{y}_{1}}^{2}=\frac{{b}^{2}（{a}^{2}-{{x}_{1}}^{2}）}{{a}^{2}}$，则${a}^{2}-{{x}_{1}}^{2}$=-$\frac{{a}^{2}{{y}_{1}}^{2}}{{b}^{2}}$，
∴k_QA+k_QB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+a}$+$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-a}$=$\frac{{2{x}_{1}y}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}-{a}^{2}}$=-$\frac{{2b}^{2}{x}_{1}}{{a}^{2}{y}_{1}}$，
由k_OP=k_OQ得$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$=$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}$，
∴k_PA+k_PB+k_QA+k_QB=$\frac{{2b}^{2}{x}_{0}}{{a}^{2}{y}_{0}}+$（-$\frac{{2b}^{2}{x}_{1}}{{a}^{2}{y}_{1}}$）=0，
即k₁+k₂+k₃+k₄的值是0，
故选：A．

点评 本题考查求双曲线、椭圆的标准方程与简单几何性质，直线的斜率公式，考查了化简、变形能力．