Question

（Ⅰ）设函数，求的最小值；
（Ⅱ）设正数满足，证明

Answer 1

（Ⅰ）解：对函数求导数：
　
　　　
于是，
当时，，在区间是减函数，
当时，，在区间是增函数，
所以时取得最小值，，
（II）用数学归纳法证明
(ⅰ)当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立
(ⅱ)假设当n=k时命题成立　
即若正数满足，
则
当n=k+1时，若正数满足，
令
，，……，
则为正数，且，
由归纳假定知
　
　　　　　　　　　　　①
同理，由，可得

　　　②
综合①、②两式
　
　　　
　　　
　　　
即当n=k+1时命题也成立
根据(ⅰ)、(ⅱ)可知对一切正整数n命题成立

略