Question

4．已知f（x）=2ln（x+1）+$\frac{1}{x（x+1）}$-1．
（1）求f（x）在区间[1，+∞）上的最小值；
（2）利用函数f（x）的性质，求证：ln1+ln2+ln3+…+lnn＞$\frac{（n-1）^{2}}{2n}$（n∈N^*且n≥2）．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，判断当x≥1时，函数的单调性，即可得到最小值；
（2）由（1）的结论，对任意的正整数k，2ln（k+1）+$\frac{1}{k（k+1）}$-1＞0，即2ln（k+1）＞1-（$\frac{1}{k}$-$\frac{1}{k+1}$），运用累加法，即可得证．

解答 解：（1）函数f（x）的导数为f′（x）=$\frac{2}{x+1}$-$\frac{2x+1}{{x}^{2}（x+1）^{2}}$=$\frac{2{x}^{3}+2{x}^{2}-2x-1}{{x}^{2}（x+1）^{2}}$
=$\frac{（2{x}^{3}-1）+2x（x-1）}{{x}^{2}（x+1）^{2}}$，
当x≥1时，f′（x）＞0，即f（x）在[1，+∞）上为增函数，
则f（x）在区间[1，+∞）上的最小值为f（1）=2ln2-$\frac{1}{2}$；
（2）由（1）知，对任意的实数x≥1，2ln（x+1）+$\frac{1}{x（x+1）}$-1≥2ln2-$\frac{1}{2}$＞0恒成立，
对任意的正整数k，2ln（k+1）+$\frac{1}{k（k+1）}$-1＞0，即2ln（k+1）＞1-（$\frac{1}{k}$-$\frac{1}{k+1}$），
则有2ln2＞1-（$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$），2ln3＞1-（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$），…，2lnn＞1-（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）．
累加可得2ln2+2ln3+…+2lnn＞n-1-（1-$\frac{1}{n}$）=$\frac{（n-1）^{2}}{n}$，
即有ln1+ln2+ln3+…+lnn＞$\frac{（n-1）^{2}}{2n}$（n∈N^*且n≥2）

点评 本题考查导数的运用：求单调性，同时考查不等式的证明，注意运用已知结论和累加法，属于中档题．