Question

13．在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，已知A=$\frac{π}{3}$，cosB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，且c=b+$\sqrt{6}$-1
（1）求sinC的值．
（2）求边b的长．

Answer 1

分析 （1）利用两角和差的正弦公式即可求sinC的值．
（2）根据正弦定理求出b，c的关系结合方程即可求边b的长．

解答 解：（1）∵cosB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
则sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}+\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}$．
（2）∵$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，
∴$\frac{c}{b}=\frac{sinC}{sinB}=\frac{\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{1+\sqrt{6}}{2}$，
即c=$\frac{1+\sqrt{6}}{2}$b，
∵c=b+$\sqrt{6}$+1
∴$\frac{1+\sqrt{6}}{2}$b=b+$\sqrt{6}$-1，
即$\frac{\sqrt{6}-1}{2}$b=$\sqrt{6}$-1，
即b=2．

点评 本题主要考查正弦定理以及两角和差的正弦公式的应用，考查学生的计算能力．