Question

【题目】已知．

（1）讨论的单调性；

（2）若存在及唯一正整数，使得，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间是;(2) 的取值范围是.

【解析】试题分析：

（1）求出函数的导函数，通过对导函数符号的讨论可得函数的单调性．（2）由题意得函数在上的值域为．结合题意可将问题转化为当时，满足的正整数解只有1个．通过讨论的单调性可得只需满足，由此可得所求范围．

试题解析：

（1）由题意知函数的定义域为．

因为，

所以，

令，则，

所以当时， 是增函数，

又，

故当时， 单调递减，

当时， 单调递增．

所以上单调递减，在上单调递增．

（2）由（1）知当时， 取得最小值，

又，

所以在上的值域为．

因为存在及唯一正整数，使得，

所以满足的正整数解只有1个．

因为，

所以，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，即，

解得．

所以实数的取值范围是．