Question

13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosC=$\frac{a}{b}$．
（1）求B；
（2）设CM是角C的平分线，且CM=1，b=6，求cos∠BCM．

Answer 1

分析 （1）由已知及余弦定理整理可求a²+c²=b²，由勾股定理可求B的值．
（2）由已知可求cos∠BCM=a，cos∠BCA=$\frac{a}{6}$，利用二倍角的余弦函数公式可求12a²-a-6=0，解得a，从而可求cos∠BCM的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵cosC=$\frac{a}{b}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$…2分
∴a²+b²-c²=2a²，
∴a²+c²=b²，故B=90°…4分
（2）cos∠BCM=$\frac{a}{1}$=a，cos∠BCA=$\frac{a}{6}$，∠BCA=2∠BCM，
∴$\frac{a}{6}$=2a²-1，即12a²-a-6=0，解得a=$\frac{3}{4}$或-$\frac{2}{3}$（舍）…9分
∴cos∠BCM=$\frac{3}{4}$…12分

点评 本题主要考查了余弦定理，勾股定理，二倍角的余弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．