Question

已知二次方程（m-2）x²+3mx+1=0的两个根分别属于区间（-1，0）和（0，2），则m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：如果二次方程（m-2）x²+3mx+1=0的两个根分别属于（-1，0）和（0，2），则对应的二次函数在区间（-1，0）和（0，2）各有一个零点，根据零点存在定理，f（-1）•f（0）＜0且f（0）•f（2）＜0，解不等式组，即可求出满足条件m的取值范围．

解答： 解：设f（x）=（m-2）x²+3mx+1，则f（x）=0的两个根分别属于（-1，0）和（1，2）．
所以

f(-1)•f(0)＜0 f(2)•f(0)＜0

，
即

-2m-1＜0 10m-7＜0

，
∴解得-

1

2

＜m＜

7

10

，
故m的取值范围是-

1

2

＜m＜

7

10

，
故答案为：-

1

2

＜m＜

7

10

点评：连续函数f（x）在区间（a，b）上，如果f（a）•f（b）＜0，则函数f（x）在区间（a，b）必然存在零点．如果方程在某区间上有且只有一个根，可根据函数的零点存在定理进行解答，但要注意该定理只适用于开区间的情况，如果已知条件是闭区间或是半开半闭区间，我们要分类讨论．