Question

已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次是a，b，c，且A=30°，a=1．
（Ⅰ）若B=45°，求b的大小；
（Ⅱ）若sinC=sin（B-A），求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）由正弦定理列出关系式，把sinA，sinB以及a的值代入求出b的值即可；
（Ⅱ）已知等式左边利用诱导公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后求出cosB=0，确定出B为直角，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出b的值，再利用勾股定理求出c的值，即可确定出三角形ABC面积．

解答： 解：（Ⅰ）由正弦定理得

a

sinA

=

b

sinB

，即

1

sin30°

=

b

sin45°

，
解得：b=

sin45°

sin30°

=

2

；
（Ⅱ）∵sinC=sin（B-A），
∴sin（A+B）=sin（B-A），
∴sinAcosB+cosAsinB=sinBcosA-cosBsinA．
整理得：sinAcosB=0，
∵sinA≠0，∴cosB=0，
∴B=90°，
∵A=30°，a=1，
∴b=2a=2，c=

b2-a2

=

3

，
则△ABC的面积S=

1

2

ac=

3

2

．

点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．