Question

19．若关于x，y的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x≤0}\\{x+2y≥0}\\{kx-y+1≥0}{\;}\end{array}\right.$（k≠0）表示的平面区域形状是直角三角形，则该区域的面积为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． $\frac{2}{5}$
• D． $\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用平面区域是直角三角形，求出k=2，结合三角形的面积公式即可得到结论．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图，
直线kx-y+1=0，过定点A（0，1），
∵k≠0，
∴若平面区域形状是直角三角形，
则必有kx-y+1=0与直线y=-$\frac{1}{2}$x垂直时，
此时$-\frac{1}{2}×k=-1$，
此时k=2，即直线方程为2x-y+1=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+1=0}\\{x+2y=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2}{5}}\\{y=\frac{1}{5}}\end{array}\right.$，即C（-$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{5}$），
此时△AOC的面积S=$\frac{1}{2}×1×$$\frac{2}{5}$=$\frac{1}{5}$，
故选：D．

点评 本题主要考查一元二次不等式组表示平面区域，以及直线垂直的等价条件，利用数形结合是解决本题的关键．