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(本小题满分13分)
已知数列满足:
(I)求得值;
(II)设求证:数列是等比数列,并求出其通项公式;
(III)对任意的,在数列中是否存在连续的项构成等差数列?若存在,写出这项,并证明这项构成等差数列;若不存在,说明理由.
解:(I)因为
       ………………3分
(II)由题意,对于任意的正整数
所以           ………………4分

所以          ………………6分
       ………………7分
所以是首项为2,公比为2的等比数列,所以………………8分
(III)存在,事实上,对任意的中,
这连续的项就构成一个等差数列………………10分
我们先来证明:
“对任意的
由(II)得
为奇数时,
k为偶数时,

因此要证
其中
(这是因为若时,则k一定是奇数)



如此递推,要证
其中
如此递推下去,我们只需证明
,由(I)可得,
所以对
对任意的

所以

所以这连续的项,
是首项为的等差数列。 ………………13分
说明:当时,
因为构成一个项数为的等差数列,所以从这个数列中任取连续的项,也是一个项数为的等差数列。
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