Question

已知某池塘养殖着鲤鱼和鲫鱼，为了估计这两种鱼的数量，养殖者从池塘中捕出两种鱼各1000只，给每只鱼做上不影响其存活的标记，然后放回池塘，待完全混合后，再每次从池塘中随机的捕出1000只鱼，记录下其中有记号的鱼的数目，立即放回池塘中．这样的记录做了10次，并将记录获取的数据做成以下的茎叶图（图1）．

（Ⅰ）根据茎叶图计算有记号的鲤鱼和鲫鱼数目的平均数，并估计池塘中的鲤鱼和鲫鱼的数量；
（Ⅱ）为了估计池塘中鱼的总重量，现从中按照（Ⅰ）的比例对100条鱼进行称重，据称重鱼的重量介于（0，4.5]（单位：千克）之间，将测量结果按如下方式分成九组：第一组[0，0.5）、第二组[0.5，1）；…，第九组[4，4.5）．图2是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．
①估计池塘中鱼的重量在3千克以上（含3千克）的条数；
②若第二组、第三组、第四组鱼的条数依次成公差为7的等差数列，请将频率分布直方图补充完整；
③在②的条件下估计池塘中鱼的重量的众数、中位数及估计池塘中鱼的总重量；
（Ⅲ）假设随机地从池塘逐只有放回的捕出5只鱼中出现鲤鱼的次数为ξ，求ξ的数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,频率分布表,频率分布直方图

专题：综合题,概率与统计

分析：（Ⅰ）根据茎叶图可知，鲤鱼与鲫鱼的平均数目，从而估计鲤鱼数目、鲫鱼数目400． （Ⅱ）①根据题意，结合直方图可知，即可估计池塘中鱼的重量在3千克以上（含3千克）的条数．
②确定频率，可将频率分布直方图补充完整．
③众数为2.25千克，中位数为2.02千克，平均数为2.02千克，可求鱼的总重．
（Ⅲ）由于随机变量ξ满足B（5，

4

5

），即可求出数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）根据茎叶图可知，鲤鱼与鲫鱼的平均数目为80，20，估计鲤鱼数目16000，鲫鱼数目4000．（Ⅱ）①根据题意，结合直方图可知，估计池塘中鱼的重量在3千克以上（含3千克）的条数为2400条．
②频率分别为0.08、0.15、0.22，可将频率分布直方图补充完整．
③众数为2.25千克，中位数为2.02千克，平均数为2.02千克，所以鱼的总重为2.02×20000=40400千克．
（Ⅲ）结合二项分布可知，由于随机变量ξ满足B（5，

4

5

），数学期望Eξ=5×

4

5

=4．

点评：本题主要是考查了统计中茎叶图以及直方图和概率的求解运用，属于中档题．