Question

如图四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，ADCD，且AD=CD=2

2

，BC=4

2

，PA=2，点M在线段PD上．
（1）求证：AB⊥PC．
（2）若二面角M-AC-D的大小为45°，求BM与平面PAC所成的角的正弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）设E为BC的中点，连接AE，证明AB⊥PC，只需证明AB⊥平面PAC，只需证明AB⊥AC，AB⊥PA．
（2）设AC∩BD=O，连接OP，过点M作MN⊥AD，过点N作NG⊥AC于G，连接MG，证明∠MGN是二面角M-AC-D的平面角，即∠MGN=45°，M为PD的中点，连接PO交BM于H，连接AH，证明∠BHA是BM与平面PAC所成的角，即可求BM与平面PAC所成的角的正弦值．

解答： （1）证明：设E为BC的中点，连接AE，则AD=EC，AD∥EC，
∴四边形AECD为平行四边形，
∴AE⊥BC
∵AE=BE=EC=2

2

，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴AB⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴AB⊥PA
∵AC∩PA=A，
∴AB⊥平面PAC，
∴AB⊥PC．
（2）设AC∩BD=O，连接OP，过点M作MN⊥AD，过点N作NG⊥AC于G，连接MG，则MN∥PA，
由PA⊥平面ABCD，可得MN⊥平面ABCD，
∴MN⊥AC，
∵NG⊥AC，MN∩NG=N，
∴AC⊥平面MNG，
∴AC⊥MG，
∴∠MGN是二面角M-AC-D的平面角，即∠MGN=45°
设MN=x，则NG=AG=x，∴AN=ND=

2

x，
可得M为PD的中点，连接PO交BM于H，连接AH，
由（1）AB⊥平面PAC，∴∠BHA是BM与平面PAC所成的角
在△ABM中，AB=4，AM=

1

2

PD=

3

，BM=3

3

，
∴cos∠ABM=

5 3

9

，
∵∠BHA与∠ABM互余，
∴BM与平面PAC所成的角的正弦值为

5 3

9

．

点评：本题考查线面垂直，线线垂直，考查面面角，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，正确作出线面角是关键．