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    【题目】已知函数，且在处的切线方程为.

    （1）求的解析式，并讨论其单调性.

    （2）若函数，证明：.

    【答案】（1）见解析（2）见解析

    【解析】

    （1）先求出切点的坐标，通过切线方程可以求出切线的斜率，对函数进行求导，

    求出切线方程的斜率，这样得到一个等式，最后求出的值，这样就求出的解析式。求出定义域，讨论导函数的正负性，判断其单调性。

    （2）研究的单调性，就要对进行求导，研究导函数的正负性，就要对进行求导，得到，研究的正负性，从而判断出的单调性，进而判断出的正负性，最后判断出的单调性，利用单调性就可以证明结论。

    （1）由题切点为代入得：①

    即②

    解得，

    ∴，，

    ∴，即为上的增函数.

    （2）由题，即证，

    .

    构造函数，，

    ，即为上的增函数，

    又，即

    时，即在上单调递减，

    时，，即在上单调递增，

    ∴得证.

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