【题目】已知椭圆的离心率为
,焦距为
.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B.
(Ⅰ)求椭圆M的方程;
(Ⅱ)若,求
的最大值;
(Ⅲ)设,直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点
共线,求k.
【答案】(Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅲ)
【解析】分析:(1)根据题干可得的方程组,求解
的值,代入可得椭圆方程;(2)设直线方程为
,联立,消
整理得
,利用根与系数关系及弦长公式表示出
,求其最值;(3)联立直线与椭圆方程,根据韦达定理写出两根关系,结合
三点共线,利用共线向量基本定理得出等量关系,可求斜率
.
详解:
(Ⅰ)由题意得,所以
,
又,所以
,所以
,
所以椭圆的标准方程为
.
(Ⅱ)设直线的方程为
,
由消去
可得
,
则,即
,
设,
,则
,
,
则,
易得当时,
,故
的最大值为
.
(Ⅲ)设,
,
,
,
则 ①,
②,
又,所以可设
,直线
的方程为
,
由消去
可得
,
则,即
,
又,代入①式可得
,所以
,
所以,同理可得
.
故,
,
因为三点共线,所以
,
将点的坐标代入化简可得
,即
.
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【题目】下列结论:①函数和
是同一函数;②函数
的定义域为
,则函数
的定义域为
;③函数
的递增区间为
;其中正确的个数为( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
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【题目】AB为过抛物线焦点F的弦,P为AB中点,A、B、P在准线l上射影分别为M、N、Q,则下列命题: 以AB为直径作圆,则此圆与准线l相交;
;
;
;
、O、N三点共线
为原点
,正确的是______ .
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【题目】已知椭圆:
(
)的左右焦点分别为
,
,若椭圆上一点
满足
,且椭圆
过点
,过点
的直线
与椭圆
交于两点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作
轴的垂线,交椭圆
于
,求证:
,
,
三点共线.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知曲线
的参数方程为
(
,
为参数).以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
.
(1)当时,求曲线
上的点到直线
的距离的最大值;
(2)若曲线上的所有点都在直线
的下方,求实数
的取值范围.
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【题目】已知命题p:k2﹣8k﹣20≤0,命题q:方程1表示焦点在x轴上的双曲线.
(1)命题q为真命题,求实数k的取值范围;
(2)若命题“p∨q”为真,命题“p∧q”为假,求实数k的取值范围.
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【题目】如图,椭圆:
的焦距与椭圆
:
的短轴长相等,且
与
的长轴长相等,这两个椭圆在第一象限的交点为
,直线
经过
在
轴正半轴上的顶点
且与直线
(
为坐标原点)垂直,
与
的另一个交点为
,
与
交于
,
两点.
(1)求的标准方程;
(2)求.
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