Question

【题目】AB为过抛物线焦点F的弦，P为AB中点，A、B、P在准线l上射影分别为M、N、Q，则下列命题： 以AB为直径作圆，则此圆与准线l相交；；；；、O、N三点共线为原点，正确的是______ ．

Answer 1

【答案】②③④⑤

【解析】

根据抛物线的定义，可知AP+BP＝AM+BN，从而，所以以AB为直径作圆则此圆与准线l相切，故可判断①错，③对；由AP＝AF可知∠AMF＝∠AFM，同理∠BFN＝∠BNF，利用AM∥BN，可得MF⊥NF，从而可判断②④正确；

对于 ⑤，不妨设抛物线方程为y2＝2px，直线AB：，从而可证明kOA＝kON，故可判断．

解：由题意，AP+BP＝AM+BN

∴，∴以AB为直径作圆则此圆与准线l相切，故①错，③对；

由AP＝AF可知∠AMF＝∠AFM，同理∠BFN＝∠BNF，利用AM∥BN，可得MF⊥NF，从而②④正确；

对于 ⑤，不妨设抛物线方程为y2＝2px，直线AB：

联立可得y2﹣2kpy﹣p2＝0

设，，则

∴，

∵y1y2＝﹣p2，∴kOA＝kON，故⑤正确

故答案为②③④⑤