Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）试判断1是的极大值点还是极小值点，并说明理由；

（Ⅱ）设是函数的导函数，求证： .

Answer 1

【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)证明见解析.

【解析】试题分析：

（Ⅰ）求出函数定义域，求出，判断在1的两侧的正负，可得极值是极大还是极小值；

（Ⅱ）由（Ⅰ），求出导函数，为了确定的最小值，需要确定的单调性，以确定的正负，因此又要对求导，确定出在单调递增， 有唯一零点，且，这是的极小值点，

，现在要证这个极小值大于－1，设，再一次利用导数的知识证明在是单调减函数，从而．

试题解析：

（Ⅰ）的定义域为，

因为 ，所以.

当时， ， ，所以，故在上单调递增；

当时， ， ，所以，故在上单调递减；

所以1是函数的极小值.

（Ⅱ）由题意可知， ，

， ，令， ，

则，故在上单调递增.

又， ，

所以，使得，即，所以，

， 随的变化情况如下：

所以，

由式得，代入上式得

，

令， ，则，

故在上单调递减，所以，

又，所以，即，所以.