Question

【题目】已知函数是奇函数．

（1）求实数的值；

（2）若，对任意有恒成立，求实数取值范围；

（3）设,若，问是否存在实数使函数在上的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）不存在,理由见解析.

【解析】

（1）根据定义域为R且为奇函数可知, 代入即可求得实数的值.

（2）由（1）可得函数的解析式,并判断出单调性.根据将不等式转化为关于的不等式,结合时不等式恒成立,即可求得实数取值范围；

（3）先用表示函数.根据求得的解析式,根据单调性利用换元法求得的值域.结合对数的定义域,即可求得的取值范围.根据对数型复合函数的单调性,即可判断在的取值范围内能否取到最大值0.

（1）函数的定义域为R,且为奇函数

所以,即

解得

（2）由（1）可知当时,

因为,即

解不等式可得

所以在R上单调递减,且

所以不等式可转化为

根据函数在R上单调递减

所不等式可化为

即不等式在恒成立

所以恒成立

化简可得

由打勾函数的图像可知,当时,

所以

（3）不存在实数.理由如下:

因为

代入可得,解得或(舍)

则,

令,易知在R上为单调递增函数

所以当时, ,

则

根据对数定义域的要求,所以满足在上恒成立

即在上恒成立

令,

所以,即

又因为

所以

对于二次函数,开口向上,对称轴为

因为

所以

所以对称轴一直位于的左侧,即二次函数在内单调递增

所以,

假设存在满足条件的实数,则:

当时, 由复合函数单调性的判断方法，可知为减函数,所以根据可知,即

解得,所以舍去

当时, 复合函数单调性的判断方法可知为增函数,所以根据可知,即

解得,所以舍去

综上所述,不存在实数满足条件成立.