【题目】已知椭圆:
(
)的左右焦点分别为
,
,若椭圆上一点
满足
,且椭圆
过点
,过点
的直线
与椭圆
交于两点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作
轴的垂线,交椭圆
于
,求证:
,
,
三点共线.
【答案】(1)(2)见解析
【解析】试题分析:
(1)由椭圆定义可得,再把点
的坐标代入可求得
,得椭圆方程;
(2)由于的坐标为
,因此我们可以求出直线
的方程,再证明点
在此直线上即可.为此设设
的方程为
,点
,
,
,联立直线方程与椭圆方程,消元后得一元二次方程,用韦达定理得
,写出直线
方程,并把
代入得直线方程,令
,求出
,利用
可得结果
,结论得证.
试题解析:
(1)依题意, ,故
.
将代入
中,解得
,故椭圆
:
.
(2)由题知直线的斜率必存在,设
的方程为
.
点,
,
,联立
得
.
即,
,
,
由题可得直线方程为
,
又∵,
.
∴直线方程为
,
令,整理得
,即直线
过点
.
又∵椭圆的左焦点坐标为
,∴三点
,
,
在同一直线上.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点为极点,
轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标为
.
(1)求曲线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)若曲线和曲线
有三个公共点,求以这三个公共点为顶点的三角形的面积.
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【题目】如图,在多面体中,已知
是边长为2的正方形,
为正三角形,
分别为
的中点,
且
,
.
(1)求证: 平面
;
(2)求证: 平面
;
(3)求与平面
所成角的正弦值.
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【题目】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E为棱CC1的中点,点M在正方形BCC1B1内运动,且直线AM//平面A1DE,则动点M 的轨迹长度为( )
A. B. π C. 2 D.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,焦距为
.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B.
(Ⅰ)求椭圆M的方程;
(Ⅱ)若,求
的最大值;
(Ⅲ)设,直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点
共线,求k.
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【题目】以下四组函数中,表示同一函数的是
A.f(x)=,g(x)=x2–1B.f(x)=
,g(x)=x+1
C.f(x)=,g(x)=(
)2D.f(x)=|x|,g(t)=
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【题目】在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),以平面直角坐标系的原点为极点,正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求直线和曲线
的直角坐标方程,并指明曲线
的形状;
(2)设直线与曲线
交于
两点,
为坐标原点,且
,求
.
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【题目】某班共名同学,在一次数学考试中全班同学成绩全部介于
分到
分之间.将成绩结果按如下方式分成五组:第一组
,第二组
,
,第五组
.按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示,将成绩大于或等于
分且小于
分记为“良好”,
分以上记为“优秀”,不超过分
则记为“及格”.
(1)求该班学生在这次数学考试中成绩“良好”的人数;
(2)若从第一、五组中共随机取出两个成绩,记为取得第一组成绩的个数,求
的分布列与数学期望.
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