【题目】已知函数.
(1)求函数的极值;
(2)若,
是方程
(
)的两个不同的实数根,求证:
.
【答案】(1)有极小值
,无极大值.(2)见解析
【解析】试题分析:
(1)求出导函数,再求出
的零点,确定零点两侧
的正负,得极值;
(2)关键是参数的转换,由
是某方程的解,代入得
,两式相减可解得
,这样要证的不等式即为证
,这样可用换元法,设
,且不妨役
,于是有
,只要证
,此时又可转化为求函数
的最大值,求出
的导数
,
,为确定
的正负及零点,可对函数
求导,利用导数确定它的单调性,最终确定
的单调性,从而得出结论.
试题解析:
(1)依题意,
故当时,
,当
时,
故当时,函数
有极小值
,无极大值.
(2)因为,
是方程
的两个不同的实数根.
∴两式相减得
,解得
要证: ,即证:
,即证:
,
即证,
不妨设,令
.只需证
.
设,∴
;
令,∴
,∴
在
上单调递减,
∴
,∴
,∴
在
为减函数,∴
.
即在
恒成立,∴原不等式成立,即
.
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【题目】已知函数是定义在
上的偶函数,且当
时,
.现已画出函数
在
轴左侧的图象,如图所示,并根据图象:
(1)直接写出函数,
的增区间;
(2)写出函数,
的解析式;
(3)若函数,
,求函数
的最小值.
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【题目】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E为棱CC1的中点,点M在正方形BCC1B1内运动,且直线AM//平面A1DE,则动点M 的轨迹长度为( )
A. B. π C. 2 D.
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【题目】已知函数,函数
.
⑴若的定义域为
,求实数
的取值范围;
⑵当,求函数
的最小值
;
⑶是否存在实数,使得函数
的定义域为
,值域为
?若存在,求出
的值;若不存在,则说明理由.
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【题目】已知椭圆:
(
)的左右焦点分别为
,
,若椭圆上一点
满足
,且椭圆
过点
,过点
的直线
与椭圆
交于两点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作
轴的垂线,交椭圆
于
,求证:
,
,
三点共线.
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【题目】随着资本市场的强势进入,互联网共享单车“忽如一夜春风来”,遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在市的使用情况,某调查机构借助网络进行了问卷调查,并从参与调查的网友中随机抽取了200人进行抽样分析,得到下表(单位:人):
经常使用 | 偶尔或不用 | 合计 | |
30岁及以下 | 70 | 30 | 100 |
30岁以上 | 60 | 40 | 100 |
合计 | 130 | 70 | 200 |
(1)根据以上数据,能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关?
(2)现从所有抽取的30岁以上的网民中利用分层抽样抽取5人,
求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数;
从这5人中,在随机选出2人赠送一件礼品,求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.
参考公式: ,其中
.
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【题目】某商店经营的某种消费品的进价为每件14元,月销售量(百件)与每件的销售价格
(元)的关系如图所示,每月各种开支2 000元.
(1)写出月销售量(百件)关于每件的销售价格
(元)的函数关系式.
(2)写出月利润(元)与每件的销售价格
(元)的函数关系式.
(3)当该消费品每件的销售价格为多少元时,月利润最大?并求出最大月利润.
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