Question

【题目】在数列{an}，{bn}中，a1=2，b1=4且an ， bn ， an+1成等差数列，bn ， an+1 ， bn+1成等比数列（n∈N*）
（1）求a2 ， a3 ， a4及b2 ， b3 ， b4；由此归纳出{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论．
（2）若cn=log2（），Sn=c1+c2+…+cn ， 试问是否存在正整数m，使Sm≥5，若存在，求最小的正整数m．

Answer 1

【答案】解：（1）由条件可得，2bn=an+an+1 ， a2n+1=bnbn+1 ，
则由a1=2，b1=4，可得，
a2=6，a3=12，a4=20；
b2=9，b3=16，b4=25；
猜想：an=n（n+1），bn=（n+1）2；
证明如下：
①当n=1时，结论成立；
②假设当n=k时成立，即ak=k（k+1），bk=（k+1）2；
则当n=k+1时，
ak+1=2bk﹣ak=2（k+1）2﹣k（k+1）=（k+2）（k+1），
bk+1=a2k+1÷bk=（k+2）2（k+1）2÷（k+1）2=（k+2）2；
故an=n（n+1），bn=（n+1）2对一切正整数n都成立．
（2）∵cn=log2（）=log2，
∴Sn=c1+c2+…+cn=log2+log2+…+log2=log2（n+1），
则Sm≥5可化为log2（m+1）≥5，
则m≥31，
故存在正整数m，且最小的正整数m为31．
【解析】（1）由题意，2bn=an+an+1 ， a2n+1=bnbn+1 ， 从而写出a2 ， a3 ， a4及b2 ， b3 ， b4；利用数学归纳法证明通项公式；
（2）由题意，cn=log2（）=log2 ， 化简Sn=c1+c2+…+cn=log2+log2+…+log2=log2（n+1），从而求m．