Question

【题目】定义域为R的函数f（x）满足：对于任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且当x＜0时，f（x）＞0恒成立，且nf（x）=f（nx）．（n是一个给定的正整数）．

（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；

（2）证明f（x）为减函数；若函数f（x）在[-2，5]上总有f（x）≤10成立，试确定f（1）应满足的条件；

（3）当a＜0时，解关于x的不等式．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）f（1）[-5，0）；（3）见解析

【解析】

（1）利用函数奇偶性的定义，结合抽象函数关系，利用赋值法进行证明

（2）结合函数单调性的定义以及最值函数成立问题进行证明即可

（3）利用抽象函数关系，结合函数奇偶性和单调性定义转化为一元二次不等式，讨论参数的范围进行求解即可

（1）f（x）为奇函数，证明如下；

由已知对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）恒成立．

令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0），所以f（0）=0．

令y=-x，得f（x-x）=f（x）+f（-x）=0．

所以对于任意x，都有f（-x）=-f（x）．

所以f（x）是奇函数．

（2）设任意x1，x2且x1＜x2，则x2-x1＞0，由已知f（x2-x1）＜0，

又f（x2-x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2）-f（x1）＜0，得f（x2）＜f（x1），

根据函数单调性的定义和奇函数的性质知f（x）在（-∞，+∞）上是减函数．

所以f（x）在[-2，5]上的最大值为f（-2）．

要使f（x）≤10恒成立，当且仅当f（-2）≤10，

又因为f（-2）=-f（2）=-f（1+1）=-2f（1）,所以f（1）≥-5．

又x＞1，f（x）＜0，所以f（1）∈[-5，0）．

（3）∵．，

∴f（ax2）-f（a2x）＞n2[f（x）-f（a）]．

所以f（ax2-a2x）＞n2f（x-a），

所以f（ax2-a2x）＞f[n2（x-a）]，

因为f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，

所以ax2-a2x＜n2（x-a）．

即（x-a）（ax-n2）＜0，

因为a＜0，所以（x-a）（x）＞0．

讨论：

①当a＜＜0，即a＜-n时，原不等式的解集为{x|x＞或x＜a}；

②当a=，即a=-n时，原不等式的解集为{x|x≠-n}；

③当＜a＜0，即-n＜a＜0时，原不等式的解集为{x|x＞a或x＜}．