Question

【题目】定义在区间[a，b]上的连续函数y=f(x)，如果，使得，则称为区间[a,b]上的“中值点”．

下列函数：①；②；③；④中，在区间[0,1]上“中值点”多于一个的函数序号为_________．（写出所有满足条件的函数的序号）

Answer 1

【答案】①④

【解析】分析：由题意知“中值点”的意义是指在区间[0,1]上存在点，使得函数在该点处的切线的斜率等于区间[0,1]的两个端点连线的斜率．分别画出四个函数的图象，由此定义对四个函数逐个判断可得答案．

详解：由题意得“中值点”的意义是在区间[0,1]上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间[0,1]的两个端点连线的斜率．

在同一坐标系中画出四个函数的图象（如下图）．

对于①，根据题意，在区间[0,1]上的任何一点都是“中值点”，故①正确；

对于②，区间[0,1]两端点连线的斜率，即点（0,1）和（1,1）连线的斜率为0．又，由得，因此函数在区间[0,1]只存在一个“中值点”，故②不正确；

对于③，由题意得区间[0,1]两端点连线的斜率为ln2，又，由于只有一个解，所以函数f(x)=ln(x+1)在区间[0,1]只存在一个“中值点”，故③不正确；

对于④，同理并结合对称性，可得函数在区间[0,1]存在两个“中值点”，故④正确．

综上可得①④正确．