Question

【题目】已知函数f（x）=-a2 lnx+x2-ax（a∈R）．

（1）试讨论函数f（x）的单调性：

（2）若函数f（x）在区间（1，e）中有两个零点，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）a∈（-e，-2）．

【解析】分析：（1）根据函数定义域，求f'（x）=，根据a 的取值情况分类讨论导数的符号，研究其单调性。

（2）根据（1）中单调区间，判断有两个零点的条件，列出不等式组求出a的范围即可。

详解：（1）f（x）的定义域为（0，+）．

由f（x）=-a2lnx+x2-ax（a∈R）

可知f'（x）=，

所以若a>0，则当x∈（0，a）时，f'（x）<0，函数f（x）单调递减，

当x∈（a，+）时，f'（x）>0，则函数f（x）单调递增；

若a=0，则当f'（x）=2x>0在（0，+）内恒成立，函数f（x）单调递增；

若a<0，则当x∈（0，-）时，f'（x）<0，函数f（x）单调递减，

当x∈（-，+）时，f'（x）>0，则函数f（x）单调递增．

（2）若a>0，f（x）在（0，a）单调递减，在（a，+）单调递增．

若a<0，f（x）在（0，-）单调递减，在（-，+）单调递增．

由题意，若f（x）在区间（1，e）中有两个零点，则有或

得a无解或a∈（-e，-2）.

综上，a∈（-e，-2）．