Question

3．求所有的实数c，使得方程x²+$\frac{5}{2}$x+c=0的两个实根可以和c一起构成一个三元等差数列．

Answer 1

分析 根据题意，由一元二次方程的性质分析可得c≤$\frac{25}{16}$①，设方程x²+$\frac{5}{2}$x+c=0的两个实根为m、n，则有m+n=-$\frac{5}{2}$，mn=c，进而由等差数列的性质分3种情况讨论：①若m+n=2c，②、若m+c=2n或③n+c=2m，分别求出c的值，综合即可得答案．

解答 解：根据题意，若方程x²+$\frac{5}{2}$x+c=0有两个实根，必有（$\frac{5}{2}$）²≥4c，即c≤$\frac{25}{16}$，（*）
设方程x²+$\frac{5}{2}$x+c=0的两个实根为m、n，则有m+n=-$\frac{5}{2}$，mn=c，
若m、n、c组成一个三元等差数列，分3种情况讨论：
①、若c为等差中项，则m+n=2c，则c=-$\frac{5}{4}$，满足（*）式，符合题意；
②、若m为等差中项，则n+c=2m，
则有$\left\{\begin{array}{l}{m+n=-\frac{5}{2}}\\{mn=c}\\{n+c=2m}\end{array}\right.$，解可得c=1或-$\frac{25}{2}$，满足（*）式，符合题意；
③、若n为等差中项，则m+c=2n，
则有$\left\{\begin{array}{l}{m+n=-\frac{5}{2}}\\{mn=c}\\{m+c=2n}\end{array}\right.$，解可得c=1或-$\frac{25}{2}$，满足（*）式，符合题意；
故c=-$\frac{5}{4}$或1或-$\frac{25}{2}$，．

点评 本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的通项公式，注意等差数列中等差中项的性质，