Question

13．已知数列{a_n}满足：$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}×{a}_{n+1}}$，数列{b_n}满足：S_n=（2ⁿ-1）b_n，其中 S_n为数列{b_n}的前n项和，且a₁=b₁=1．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由题意可得a_n+1-a_n=2，又a₁=1，由等差数列的定义和通项公式即可得到数列{a_n}的通项；再将n换为n-1，相减，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求数列{b_n}的通项；
（2）求得a_n•b_n=$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简即可得到所求和．

解答 解：（1）由$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}×{a}_{n+1}}$，有a_n+1-a_n=2，又a₁=1，
所以数列{a_n}是一个首项为1，公差为2的等差数列，故a_n=2n-1．
又S_n=（2ⁿ-1）b_n，所以n≥2时，S_n-1=（2^n-1-1）b_n-1
两式相减有：b_n=（2ⁿ-1）b_n-（2^n-1-1）b^n-1，即b_n=$\frac{1}{2}$b_n-1（n≥2），
所以数列{b_n}是一个首项为1，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，
故b_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1．
（2）因为a_n•b_n=$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$，
故T_n=$\frac{1}{{2}^{0}}$+$\frac{3}{{2}^{1}}$+$\frac{5}{{2}^{2}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{{2}^{1}}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{2n-3}{{2}^{n-1}}$+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
两式相减有：$\frac{1}{2}$T_n=1+2（$\frac{1}{{2}^{1}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）-$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$
=1+2（1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）-$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$
=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．
从而：T_n=6-$\frac{2n+3}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查等差数列和等比数列的定义及通项公式的应用，考查数列的求和方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题．