Question

4．已知集合A={x|y=lg（-x²+5x+6）}，集合B={x|x²-4x+4-a²≥0}，命题p：x∈A，命题q：x∈B．
（I）若A∩B≠∅，求a的取值范围；
（Ⅱ）若￢q是p的充分条件，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分别求出关于A、B的不等式，根据交集的运算求出a的范围即可；（Ⅱ）根据￢q是p的充分条件，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）A={x|y=lg（-x²+5x+6）}={x|-x²+5x+6＞0}={x|-1＜x＜6}，
B={x|x²-4x+4-a²≥0}，
（1）a＞0时，B={x|x≥2+a或x≤2-a}，
若A∩B≠∅，则必须满足2+a＜6或2-a＞-1，解得：a＜4，
故a的范围是（0，4）；
（2）a=0时，符合题意；
（3）a＜0时，B={x|x≥2-a或x≤2+a}，
若A∩B≠∅，则必须满足2-a＜6或2+a＞-1，解得：a＞-4，
综上a的范围是（-4，4）；
（Ⅱ）￢q：2-a＜x＜2+a，
∵￢q是p的充分条件，
∴（2-a，2+a）⊆（-1，6），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2+a≤6}\\{2-a≥-1}\end{array}\right.$，解得：a≤3，
故a的范围是（0，3]．

点评 本题考查了充分必要条件，考查解不等式组问题，是一道中档题．