Question

9．在四面体ABCD中，已知AB=BD=AD=DC，BD⊥DC，AC=λAB，λ∈R．
（Ⅰ）若λ=$\sqrt{2}$，求证：面ABD⊥面ADC；
（Ⅱ）是否存在实数λ，使二面角A-BD-C的平面角为30°，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设AB=2，则AC=$2\sqrt{2}$，结合已知可得AD⊥DC，再由BD⊥DC，利用线面垂直的判定可得DC⊥面ABD，从而得到面ABD⊥面ADC；
（Ⅱ）设G，Q分别是BD、BC的中点，连接AG、GQ、AQ，可得∠AGQ是二面角A-BD-C的平面角30°，设AB=2，则AC=2λ，求解三角形可得$λ=\frac{\sqrt{2}}{2}$．

解答 （Ⅰ）证明：设AB=2，则AC=$2\sqrt{2}$，
∴AD²+DC²=AC²，则AD⊥DC，
又∵BD⊥DC，且AD∩BD=D，
∴DC⊥面ABD，
而DC?平面ADC，
∴面ABD⊥面ADC；
（Ⅱ）解：设G，Q分别是BD、BC的中点，连接AG、GQ、AQ，
则AG⊥BD，GQ⊥BD，
∴∠AGQ是二面角A-BD-C的平面角30°，
设AB=2，则AC=2λ，
由已知，AG=$\sqrt{3}$，GQ=1，
则AQ=$\sqrt{A{G}^{2}+G{Q}^{2}-2AG•GQ•cos30°}$=1．
在△ABQ中，cos∠ABQ=$\frac{A{B}^{2}+B{Q}^{2}-A{Q}^{2}}{2AB•BQ}$=$\frac{5\sqrt{2}}{8}$，
在△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}-2AB•BC•cos∠ABQ}$=$\sqrt{2}$．
∴2$λ=\sqrt{2}$，得$λ=\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查面面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了二面角的平面角的求法，是中档题．