Question

5．圆M的圆心在直线y=2x-4上，且与直线x+y=1相切于点A（2，-1）
（1）试求圆M的方程；
（2）从点P（4，3）发出的光线经直线y=x反射后可以照在圆M上，试求反射光线所在直线斜率的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设出圆心的坐标为（a，2a-4），根据圆心到直线的距离等于圆的半径列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出圆心坐标，进而求出圆的半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程即可；
（2）设发出光线所在直线的斜率为k，求出发射光线所在直线的方程，再利用圆心到直线的距离不大于半径，建立不等式，即可得出结论．

解答 解：（1）设所求圆心坐标为（a，2a-4），
则由条件得 $\sqrt{{（a-2）}^{2}{+（2a-4+1）}^{2}}$=$\frac{|a+2a-4-1|}{\sqrt{2}}$，
化简得a²+6a+9=0，∴a=1，
∴圆心为（1，-2），半径r=$\sqrt{2}$，
∴所求圆方程为（x-1）²+（y+2）²=2；
（2）设发出光线所在直线的斜率为k，过P（4，3），
故直线方程是：kx-y-4k+3=0，①，
则①与y=x的交点是（$\frac{4k-3}{k-1}$，$\frac{4k-3}{k-1}$），
点P（4，3）关于直线y=x的对称点的坐标为（3，4），
故反射光线的斜率是$\frac{1}{k-2}$，
∴反射光线所在直线的方程为：x-（k-2）y+4k-11=0，
∵点P（4，3）发出的光线经直线y=x反射后可以照在圆M上，
∴$\frac{|1+2（k-2）+4k-11|}{\sqrt{1{+（k-2）}^{2}}}$≤$\sqrt{2}$，解得：$\frac{80-\sqrt{19}}{34}$≤k≤$\frac{80+\sqrt{19}}{34}$．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有两点间的距离公式，点到直线的距离公式，圆的标准方程，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，常常利用此性质列出方程来解决问题．