Question

2．小明同学在篮球场上做定点投篮游戏，已知他在A区投中的概率为$\frac{3}{4}$，在B区投中的概率为$\frac{2}{3}$，在C区投中的概率为$\frac{1}{2}$，假设他在各区投篮是否投中的事件相互独立，且他在A，B，C区各投篮一次
（Ⅰ）求小明至少投中2次的概率
（Ⅱ）用随机变量η表示该同学投中次数，求η的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 记小明在A区投中为事件A，在B区投中为事件B，在C区投中为事件C，
则P（A）=$\frac{3}{4}$，P（B）=$\frac{2}{3}$，P（C）=$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）由互斥事件及相互独立事件的概率公式求解；
（Ⅱ）由题意可知，η的所有可能取值为0，1，2，3．分别求其概率，可得η的分布列及数学期望．

解答 解：记小明在A区投中为事件A，在B区投中为事件B，在C区投中为事件C，
则P（A）=$\frac{3}{4}$，P（B）=$\frac{2}{3}$，P（C）=$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）小明至少投中2次的概率P=P（$AB\overline{C}+A\overline{B}C+\overline{A}BC+ABC$）
=P（AB$\overline{C}$）+P（$A\overline{B}C$）+P（$\overline{A}BC$）+P（ABC）
=$\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+\frac{3}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}+\frac{1}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{17}{24}$；
（Ⅱ）由题意可知，η的所有可能取值为0，1，2，3．
P（η=0）=$\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{24}$．
P（η=1）=$\frac{3}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}+\frac{1}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$．
P（η=2）=1-$\frac{1}{24}-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=\frac{11}{24}$．
P（η=3）=$\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$．
∴η的分布列为：

η	0	1	2	3
P	$\frac{1}{24}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{11}{24}$	$\frac{1}{4}$

数学期望E（η）=$0×\frac{1}{24}+1×\frac{1}{4}+2×\frac{11}{24}+3×\frac{1}{4}$=$\frac{23}{12}$．

点评 本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式的合理运用，是中档题．