Question

13．已知函数y=$\frac{2{x}^{2}-x+2}{{x}^{2}+x+1}$，x∈[1，5]，则函数的值域是[1，$\frac{47}{31}$]．

Answer 1

分析 令t=x+$\frac{1}{x}$，由x∈[1，5]，得：2≤t≤$\frac{26}{5}$，则y=$\frac{2t-1}{t+1}$=2-$\frac{3}{t+1}$，由x∈[1，5]，得：2≤t≤$\frac{26}{5}$，从而求出y的值域．

解答 解：y=$\frac{2{x}^{2}-x+2}{{x}^{2}+x+1}$=$\frac{2x+\frac{2}{x}-1}{x+\frac{1}{x}+1}$=$\frac{2（x+\frac{1}{x}）-1}{（x+\frac{1}{x}）+1}$，
令t=x+$\frac{1}{x}$，由x∈[1，5]，得：2≤t≤$\frac{26}{5}$，
则y=$\frac{2t-1}{t+1}$=2-$\frac{3}{t+1}$，（2≤t≤$\frac{26}{5}$），
当t=2时，y最小为1，t=$\frac{26}{5}$时，y最大为$\frac{47}{31}$，
故答案为：[1，$\frac{47}{31}$]．

点评 本题考查了函数的值域问题，考查换元思想，是一道基础题．